现代物理学中最重要的方程之一 —— 薛定谔方程，弄清其起源与推导过程

到 20 世纪初，令人吃惊的新实验证据开始出现，这些证据挑战了人们普遍接受的观点，即光只是由电磁波（受麦克斯韦方程支配）组成。马克斯・普朗克的黑体辐射理论，为"紫外灾难"问题提供了解决方案，并为他赢得了 1918 年的诺贝尔奖，似乎暗示了光的离散性和微粒性。爱因斯坦对光电效应的理论解释进一步支持了这一点，我们因此获得了 1921 年的诺贝尔奖。在他们的理论中，普朗克和爱因斯坦提出，光虽然具有波状特征，但也以离散的能量"包"或"量子"的形式发射、传播和吸收，这些能量后来被称为光子，其能量由普朗克-爱因斯坦关系给出：

其中𝜔表示电磁波的角频率，E 表示相应光子的能量，ℏ只是一个称为普朗克常数的比例常数。

光的类粒子行为是由阿瑟・康普顿在 1923 年决定性地证明的。为了证实爱因斯坦和普朗克提出的光的微粒理论，康普顿进行了一系列实验，在这些实验中，他从自由电子中散射 x 射线。他观察到，x 射线在散射时，频率似乎突然下降。这种现象现在被称为康普顿效应。

康普顿发现，他的观察结果不能用经典的光电磁波描述来解释，因为经典的光电磁波预测散射时频率没有变化。然而，如果他采用爱因斯坦和普朗克的光子理论，并认为 x 射线是一个粒子与自由电子发生非弹性碰撞并在此过程中损失能量，这种效应就可以得到完美的解释。由此产生的光的波和粒子描述之间的冲突被称为波粒二象性理论。

然而，在 20 世纪 20 年代，出现了更惊人的证据，似乎不仅证明了光的粒子状行为，而且证明了物质粒子的波状行为。这始于各种电子衍射实验，如 1927 年戴维森-格默实验，在该实验中，电子从晶体表面散射出来，显示出衍射图案。衍射图样只能由于传播波之间的干涉效应而产生。因此，戴维森-格默实验的结果只能用传播波来描述散射电子的数学方法来解释。

为了解释越来越多的证据支持电子的波状性质，物理学家路易斯・德布罗意在 1924 年的博士论文《论量子理论》中提出，每一种物质粒子都有一个相关的波，这种波后来被称为物质波或德布罗意波，具有相应的德布罗意波长。然后，这种物质波将捕捉到粒子行为的波状方面。德布罗意还发现，这种物质波概念也可以为观测到的原子离散频谱提供解释，这表明只存在离散的、允许的电子轨道。

电子不能再被认为是单一的小颗粒；它一定与一种波有关，而这种波并不是神话；它的波长可以测量，其干扰可以预测 -- 路易斯・德布罗意，1929 年诺贝尔奖演讲

为了弥合物质的粒子和波描述之间的差距，德布罗意设计了粒子的性质与其相应的物质波的性质之间的关系。他通过将粒子的动量与其物质波的德布罗意波长联系起来来做到这一点。

其中 p 表示粒子的动量，𝝀是相应物质波的德布罗意波长，k 是物质波的"波矢量"或"波数"。在三个空间坐标中，这通常被写成：

其中粗体符号表示矢量。这种关系被称为德布罗意关系。

德布罗意关系和爱因斯坦-普朗克关系通过将粒子的能量和动量与其相关波的频率和波长联系起来，在物质的波和粒子描述之间架起了一座桥梁。这两个关系构成了早期量子理论的基础。

现在让我们考虑一个简单的一维德布罗意"平面波"，它由振幅 A、波矢量 k 和角频率𝜔定义。这个波，我们从这里开始将其称为波函数，可以表示为：

我们用欧拉恒等式来表示三角形式的复指数。为了简单起见，我们也只考虑平面波在正 x 方向上的传播。为了说明这一点，我们可以画出物质波在初始时刻 t 的实分量和虚分量：

然而，由𝚿(x, t) 表示的实际数量后来只能解释为概率振幅。这种解释被称为玻恩概率振幅解释。

我们现在可以使用德布罗意和爱因斯坦-普朗克关系，将波函数的性质与相应粒子的性质联系起来。得到：

现在我们有了粒子的物质波的描述，让我们也定义粒子的总能量。一般来说，总能量由动能项和势能项组成，如下所示：

其中 m 是粒子的质量，p 是粒子的动量，V (x) 表示某个空间相关的势场。

薛定谔在他 1926 年的论文《原子和分子力学的波动理论》中发表了薛定谔方程，这是一个微分方程，描述了代表粒子状态的波函数是如何随时间演变的。因此，让我们对物质波或波函数𝚿(x, t) 表达式求时间导数，得到以下结果：

如果我们把粒子的总能量代入表达式，就会得到：

现在，剩下的就是把动量 p 用位置 x 表示。为了做到这一点，我们对波函数𝚿(x, t) 求二阶空间导数。

如果我们在两边同时除以 2m，然后重新排列，得到：

或者在算子表示中，我们把波函数项拉出来：

因此，我们可以将这个表达式代入表达式 1 中的时间导数，得到：

这正好给出了一维随时间变化的薛定谔方程。更一般地，在三维空间中，我们可以简单地用位置向量 r 替换 x，用拉普拉斯函数替换 x 的偏导数。

这将为我们提供以下随时间变化的薛定谔方程的表示形式：

随时间变化的薛定谔方程是薛定谔方程的最一般形式，所有其他形式都可以从它推导出来。通过考虑与时间无关的势场，从而考虑与时间无关的哈密顿量，可以推导出薛定谔方程的与时间无关的形式。

德布罗意的假设是通向量子力学中一些最基本概念的一块极其重要的垫脚石。除了薛定谔方程，我们还可以利用物质波概念，并在此基础上直接推导出海森堡的量子不确定性原理。

本文来自微信公众号：老胡说科学 （ID：LaohuSci），作者：我才是老胡