为什么蒙上眼睛，人就不会走直线了

在世界著名的水城威尼斯，有个圣马可 (SanMarco) 广场。

广场的一端有一座宽 82 米的雄伟教堂。教堂的前面是一方开阔地。这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一个奇怪的游戏：

把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端的教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！

奇怪的是，尽管这段距离只有 175 米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都如同图 3.1 那般，走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！

类似的现象，更为神奇地出现在美国著名作家马克・吐温的笔下。在《国外旅行记》一书中，马克・吐温（MarkTwain，1835-1910）描述了自己一次长达 4.7 英里的夜游，然而所有的一切，都只发生在一间黑暗的房间里！下面便是这一动人故事的精彩片断：

我醒了，感觉到口中发渴。我脑际浮起一个美好的念头 --- 穿起衣服来，到花园里换换空气，并在喷水泉旁边洗个脸。

我悄悄地爬了起来，开始寻找我的衣物。我找到了一只袜子，至于第二只在什么地方，却无法知晓。我小心地下了床，四周爬着乱摸一阵，然而一无所获！我开始向更远的地方摸索，越走越远，袜子没有找到，却撞在家具上。当我就寝的时候，四周的木器并不是这样多的，现在呢? 整个房间都充满了木器，特别是椅子最多，仿佛到处都是椅子！不会是这段时间中又迁来了两家人吧? 这些椅子我在黑暗中一张都看不到，但我的头却不断撞到它们。最后，我下了决心，少一只袜子也一样可以生活！我站了起来，向房门 --- 我这样想 --- 走去，却意外地在一面镜子里看到了我的朦胧的面孔。

这已经很清楚，我迷失了方向，而且自己究竟在什么地方，竟得不到一点印象。假如房里只有一面镜子，那么它将会帮助我辨清方向。但不幸偏偏有两面，而这却跟有一千面同样糟糕！

我想顺着墙走到门口，开始我新的尝试。不料竟把一幅画碰了下来。这幅画并不大，却发出了像跌落一幅巨大画片的响声。葛里斯 (我同房间睡的另一张床上的邻人) 并没有翻身。但是我觉得，假如我照样继续下去，那么就必然会把他惊醒。我开始向另一个途径尝试，我又去重新找到那张圆桌 --- 我方才已经有好几次走到它旁边 --- 打算从那里摸到我的床上；

假如找到了床，就可以找到盛水的玻璃甑，那么至少可以解一解不可耐的口渴了！最好的办法是 --- 用两臂和两膝爬行。这个方法我已经尝试过，因此对它比较信任。

终于，我到底找到了桌子 --- 我的头碰到了它 --- 发出了比较大的响声。于是我再站起来，伸出了五指张开的双手，来平衡自己的身子，就这样踯躅前行。我摸到了一把椅子，以后是墙，又是一把椅子，以后是沙发，我的手杖，又是一只沙发。这很使我惊奇，因为我清楚地知道，这房间中一共只有一只沙发！我又碰到桌子上，并且撞疼了一次，后来又碰到一些椅子上。

只在那个时候我才想起，我早就应该怎样走。因为桌子是圆形的，因此不可能作为我"旅行"的出发点。

我存着侥幸的心理，向椅子和沙发之间的空间走去，--- 但是我陷到一个完全陌生的境地中，途中把壁炉上的蜡烛台碰了下来，接着碰下了台灯，最后，盛水的玻璃甑也"砰嘭"一声落地打碎了！

"哈哈！"我心里想道，"我到底把你找到了，我的宝贝！"

"有贼！捉贼呀！"葛里斯狂喊起来。

全房子马上人声鼎沸，旅店主人、游客、仆人纷纷拿着蜡烛和灯笼跑了进来。

我四面望了望，我竟是站在葛里斯的床边！靠墙一共只有一只沙发，只有一张椅子是我能够碰到的 --- 我整整半夜像行星一样绕着它转，又像彗星一样把它碰着！

根据我步测的计算，知道这一夜我一共走了 4.7 英里！

.......

马克・吐温先生的上述故事，无疑是经过极度夸大了的，但他描写的关于一个人在黑暗中失去方向后的境遇，则都有可能发生！

读者还可以从其他著作中，看到许多人在沙漠或雪地里由于迷失方向而在原地打转的描述。这一切近乎玩笑般的遭遇，终于引起了科学家们的注意。

1896 年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的探讨。他收集了大量事例后分析说，这一切都是由于人自身的两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。

而正是这一段很小的步差 x，导致了这个人走出一个半径为 y 的大圈子。如下图所示。

现在我们来研究一下 x 与 y 之间的函数关系。

假定某人两脚踏线间相隔为 d。很明显，当人在打转时，两只脚实际上走出了两个半径相差为 d 的同心圆。设该人平均步长为 l。那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程

另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即

化简得

对一般的人，d=0.1 米，l=0.7 米，代入得 (单位：米)

这就是所求的迷路人打转的半径公式。今设迷路人两脚步差为 0.1 毫米，仅此微小的差异，将导致他在大约 3 千米的范围内绕圈子！

上述公式中变量 x，y 之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。反比例函数一般形如 y=k / x，这里 k 为常量。

它的图像是两条弯曲的曲线，数学上称为等边双曲线。反比例函数在工业、国防、科技等领域都很有用处。

回到本节开始讲的那个圣马可广场上的游戏上来。

我们先计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的 M 点，要想抵达教堂 CD，最小的弧线半径应该是多少。

如图所示，注意到矩形 ABCD 的边 BC=175AM=MB=41（单位：米)。那么上述问题无疑相当于几何中的以下命题：已知 BC 与 MB，求 MC 的半径 R 的大小。

因为

所以

这就是说，游人要希望成功，他所走弧线半径必须不小于 394 米。现在我们再来算一下，要达到上述要求，游人的两脚步差需要什么限制。根据公式

因为

所以

这表明游人的两只脚步差必须小于 0.35 毫米，否则成功便是无望的！

然而，在闭眼的前提下两脚这么小的步差一般人是做不到的，这就是在游戏中没有人能够蒙上眼睛走到教堂前面的原因。

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作者：张远南 张昶

编辑：张润昕

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南 张昶